Первообразная функция и неопределённый интеграл

Факт 1. Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ).

Определение 1. Функция F (x f (x ) на некотором промежутке X , если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F "(x )=f (x ), то есть данная функция f (x ) является производной от первообразной функции F (x ). .

Например, функция F (x ) = sin x является первообразной для функции f (x ) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x )" = (cos x ) .

Определение 2. Неопределённым интегралом функции f (x ) называется совокупность всех её первообразных . При этом употребляется запись

∫

f (x )dx

,

где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f (x ) – подынтегральной функцией, а f (x )dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная для f (x ) , то

∫

f (x )dx = F (x ) +C

где C - произвольная постоянная (константа).

Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция - "быть дверью". А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции "быть дверью", то есть её неопределённым интегралом, является функция "быть деревом + С", где С - константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции "сделана" из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную .

Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных ("быть дверью" - "быть деревом", "быть ложкой" - "быть металлом" и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых "сделаны" эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C , а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C , например, так: 5x ³+С . Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x ³+4 или 5x ³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f (x ) найти такую функцию F (x ), производная которой равна f (x ).

Пример 1. Найти множество первообразных функции

Решение. Для данной функции первообразной является функция

Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ), если производная F (x ) равна f (x ), или, что одно и то же, дифференциал F (x ) равен f (x ) dx , т.е.

(2)

Следовательно, функция - первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема (формальное изложение факта 2). Если F (x ) – первообразная для функции f (x ) на некотором промежутке Х , то любая другая первообразная для f (x ) на том же промежутке может быть представлена в виде F (x ) + C , где С – произвольная постоянная.

В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

Пример 2. Найти множества первообразных функций:

Решение. Находим множества первообразных функций, из которых "сделаны" данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем

3) Так как

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f , а её произведение на дифференциал dx . Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

, ;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x , а во втором - как функция от z .

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F"(x) . Значит, нужно найти такую функцию F(x) , для которой F"(x)=f(x) . Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x) . Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) - одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy .

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F"(x)=f(x) , то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых , как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C .

Свойства неопределённого интеграла

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f (x ) равен функции f (x ) с точностью до постоянного слагаемого , т.е.

(3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла , т.е.

Понятие неопределенного интеграла. дифференцирование -это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или диф­ференциал. Например, если F(x) = х 10 , то F" (х) = 10х 9 , dF (х) =10x 9 dx.

Интегрирование - это действие, обратное дифференцированию. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находит­ся сама функция. Например, если F" (х) = 7х 6 , то F (х) == х 7 , так как (х 7)"=7х 6 .

Дифференцируемая функция F(x), хЄ]a; b[ называется первообразной для функции f (х) на интервале ]а; Ь[, если F" (х) = f (х) для каждого хЄ]a; b[.

Так, для функции f(x) = 1/cos 3 х первообразной служит функция F(x)= tg x, поскольку (tg x)"= 1/cos 2 х.

Совокупность всех первообразных функций f(x) на интервале ]а; b[ на­зывают неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и пишут f (x)dx = F(x) + С. Здесь f(x)dx - подынтегральное выражение;

F(х)-подынтегральная функция; х-переменная интегрирования: С - про­извольная постоянная.

Например, 5x 4 dx = х 5 + С, так как (х 3 + С)" = 5х 4 .

Приведем основные свойства неопределенного интеграла . 1.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

D f(x)dx=f(x)dx.

2.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функ­ции, сложенной с произвольной постоянной, т. е.

3.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

аf(х)dx = a f(x)dx

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

(f 1 (х) ±f 2 (х))dx = f 1 (х)dx ± f 2 (х)dx.

Основные формулы интегрирования

(табличные интегралы).

6.

Пример 1. Найти

Решение. Произведем подстановку 2 - Зх 2 = t тогда -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. Далее, получаем

Пример 3. Найти

Решение. Положим 10х = t; тогда 10dx = dt, откуда dx=(1/10)dt.

3.

Так, при нахождении sinl0xdx можно использовать формулу sinkxdx = - (1/k) cos kx+C, где k=10.

Тогда sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1. Какое действие называется интегрированием?

2. Какая функция называется первообразной для функции f(x)?

3. Дайте определение неопределенного интеграла.

4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

5. Каким действием можно проверить интегрирование?

6. Напишите основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

7. Найдите интегралы: а) б) в)

где а-нижний предел, Ь-верхний предел, F (x)-какая-нибудь первообразная функции f (х).

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграл 1) находят одну из первообразных F (x) данной функции; 2) находят значение F (x) при х = а и х = Ь; 3) вычисляют разность F (Ь) - F (а).

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:

2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

2) Определим пределы интегрирования для переменной t. При х=1 получаем t н =1 3 +2=3, при х=2 получаем t в =2 3 +2=10.

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. 1) положим cos х=t; тогда – sinxdx =dt и

sinxdx = -dt. 2) Определим пределы интегрирования для переменной t: t н =cos0=1:t в =cos (π/2)=0.

3) Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

Вычислим каждый интеграл отдельно:

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = х 2 , прямыми х = - 1, х = 2 и осью абсцисс (рис.47).

Решение. Применяя формулу (1), получаем

т.е. S=3 кв. ед.

Площадь фигуры ABCD (рис. 48), ограниченной графиками непрерывных функций у =f 1 (x) и у f 2 = (x), где х Є[а, b], отрезками прямых х = а и х = Ь, вычисляется по формуле

		Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции аАВЬ, ограниченной непрерывной кривой x=f(y), где у Є [а, b], отрезком [а, b] оси Оу, отрезками прямых у = а и у = Ь (рис. 53), вычисляется по формуле Путь, пройденный точкой . Если точка движется прямолинейно и ее скорость v=f(t) есть известная функция времени t, то путь пройден­ный точкой за промежуток времени , вычисляется по формуле Вопросы для самопроверки 1. Дайте определение определенного интеграла. 2. Перечислите основные свойства определенного интеграла. 3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? 4. Напишите формулы для определения площади плоской фигуры с по­мощью определенного интеграла. 5. По каким формулам находится объем тела вращения? 6. Напишите формулу для вычисления пути, пройденного телом. 7. Напишите формулу для вычисления работы переменной силы. 8. По какой формуле вычисляется сила давления жидкости на пластинку?

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(x) или дифференциала df= f’(x) dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x ) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)= f(x) или dF(x)= F’(x) dx= f(x) dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..

Определение. Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’(x)= f(x) или dF(x)= f(x) dx.

Теорема. Любая непрерывная на отрезке [ a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

Теорема. Если F 1 (x) и F 2 (x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F 2 (x)= F 1 x)+ C, где С – постоянная .

Неопределенный интеграл, его свойства.

Определение. Совокупность F(x)+ C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

- (1)

В формуле (1) f(x) dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

и .

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

5. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:

6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

где u – дифференцируемая функция.

Таблица неопределенных интегралов.

Приведем основные правила интегрирования функций.

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную (u= x) , так и функцию от независимой переменной (u= u(x)) .)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|). (|u| < |a|).

Интегралы 1 – 17 называют табличными.

Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл

, который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=φ(t), откуда dx=φ’(t) dt.

Теорема. Пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(

Функцию, восстанавливаемую по ее производной или дифференциалу, называют первообразной .

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции

f(x) на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка

F"(x) = f(x)

или, что тоже,

dF(x) = f(x)dx

Например, F(x) = sin x является первообразной для f(x) = cos x на всей числовой оси O Х , так как

(sin x)" = cos x

Если функция F (x ) есть первообразная для функции f (x ) на [a ; b ], то функцияF (x ) + С , где C любое действительное число, также является первообразной для f (x ) при любом значении C . Действительно (F (x ) + C )" = F "(x ) + C " = f (x ).

Пример.

Определение. Если F(x) одна из первообразных для функции f(x) на [a ; b ], то выражение F(x) + С , где C произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом ʃ f (x ) dx (читается: неопределенный интеграл от f(x) на dx ). Итак,

ʃ f (x ) dx = F (x ) + C ,

где f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx ‒ подынтегральным выражением, x ‒ переменной интегрирования, а символ ʃ‒ знаком неопределенного интеграла.

Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства.

Из определения неопределенного интеграла следует, что:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Действительно, F" (x ) = f (x ) и ʃ f (x ) dx = F (x ) + C . Тогда

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Действительно,

3. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная:

Действительно, F" (x ) = f (x ). Тогда,

4. Неопределенный интеграл от дифференциала равен дифференцируемой функции плюс произвольная постоянная:

Действительно, . Тогда,

5. Постоянный множитель k (k ≠ 0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Назовем график первообразной F(x) интегральной кривой . График любой другой первообразной F(x) + C получается параллельным переносом интегральной кривой F(x) вдоль оси OY .

Пример.

Таблица основных интегралов

Основные приемы интегрирования

1. Непосредственное (табличное) интегрирование.

Непосредственное (табличное) интегрирование ‒ это приведение интеграла к табличному виду с помощью основных свойств и формул элементарной математики.

Пример 1.

Решение:

Пример 2 .

Решение:

Пример 3 .

Решение:

2. Метод подведения под дифференциал.

Пример 1.

Решение:

Пример 2 .

Решение:

Пример 3 .

Решение:

Пример 4 .

Решение:

Пример 5 .

Решение:

Пример 6 .

Решение:

Пример 7 .

Решение:

Пример 8 .

Решение:

Пример 9 .

Решение:

Пример 10 .

Решение:

3. Второй способ подведения под дифференциал.

Пример 1.

Решение:

Пример 2 .

Решение:

4. Методзамены переменной (подстановки).

Пример.

Решение:

5. Метод интегрирования по частям.

По этой формуле берутся следующие типы интегралов:

1 тип.

, формула применяется n ‒ раз, остальное dv .

2 тип.

, формула применяется один раз.

Пример 1 .

Решение:

Пример 2.

Решение:

Пример 3 .

Решение:

Пример 4 .

Решение:

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов ‒ степениm и ‒ степениn ,

Возможны следующие случаи:

1. Если , то применяют метод деления углом для исключения целой части.

2. Если и в знаменателе квадратный трехчлен, то применяют метод дополнения до полного квадрата.

Пример 1.

Решение:

Пример 2 .

Решение:

3. Метод неопределенных коэффициентов при разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Любую правильную рациональную дробь , где, можно представить в виде суммы простейших дробей:

гдеA, B, C, D, E, F, M, N,… ‒ неопределенные коэффициенты.

Для нахождения неопределенных коэффициентов надо правую часть привести к общему знаменателю. Так как знаменатель совпадает со знаменателем дроби правой части, то их можно отбросить и прировнять числители. Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхx в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений с n ‒ неизвестными. Решив эту систему, найдем искомые коэффициенты A , B , C , D и так далее. А, следовательно, разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби.

Рассмотрим на примерах возможные варианты:

1. Если множители знаменателя линейны и различны:

2. Еслисреди множителей знаменателя есть краткие множители:

3. Если среди множителей знаменателя есть квадратный трехчлен, неразложимый на множители:

Примеры: Разложить на сумму простейших рациональную дробь. Проинтегрировать.

Пример1.

Так как знаменатели дробей равны, то должны быть равны и числители, т. е.

Пример 2.

Пример 3 .

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) .

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C .

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

• первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
• второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найти первообразную функции , значение которой равно единице при х = 1 .

Решение.

Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом, . По второму свойству . То есть, имеем множество первообразных . При х = 1 получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1 . Искомая первообразная примет вид .

Пример.

Найти неопределенный интеграл и результат проверить дифференцированием.

Решение.

По формуле синуса двойного угла из тригонометрии , поэтому